Definisi dan Contoh Soal Persamaan Bola

Soal Persamaan Bola

a. Definisi Bola
Suatu bola, tepatnya (Permukaan Bola) merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan panjangnya adalah konstant.
Titik awal tertentu itu disebut TITIK PUSAT Bola, dan panjang vektor yang konstant itu disebut JARI-JARI Bola.

Selamat sore sobat kangishaq.blogspot.com, kembali lagi dengan kangishaq setelah sekian lama tidak membuat postingan yang di tunggu tunggu akhirnya saya bisa meluangkan waktu untuk membuat sebuah artikel yang akan saya bagikan kepada anda. sekian lama karena kesibukan di dunia nyata, kali ini akan membagikan sebuah informasi yang akan saya bagikan kepada dengan Tema pengetahuan sosial maka dengan itu kalian bisa simak dengan seksama artikel sosial ini untuk di jadikan referensi dalam mencari informasi.

b. Persamaan Bola
Persamaan Bola dengan pusat O(0 , 0, 0) dan jari-jari r adalah;

  S= x² + y² + z² = r2 ....(I)

Persamaan Bola untuk Pusat Bola adalah M(a,b,c) dan jari-jari = R (lihat gambar berikut)

Ambil titik sebarang P(x˳, y˳, z˳) pada bola, maka berlaku:
MP = OP – OM
= (x˳, y˳, z˳) – (a, b, c)
= (x˳ – a. y˳ – b, z˳ – c)
Sehingga panjang vektor MP adalah │MP│, dimana:
│MP│ = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}
Karena │MP│= R (jari-jari bola), maka:
R   = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}
R² = (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²
Bila titik  P(x˳, y˳, z˳) dijalankan, maka diperoleh TK titik-titik yang dicari, yaitu persamaan Bola. Jadi persamaan Bola  yang berpusat dititik M(a,b,c) dengan jari-jari = R adalah......
   (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² ….(II)
Bila persamaan (II) dijabarkan, maka akan diperoleh:
  (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²
  ( X2 - 2ax + a²) + ( y² – 2by + b²) + (z² – 2cz + c²) = R²
 X2 - 2ax + a² +  y² – 2by + b² + z² – 2cz + c²  = R²

   x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0
  x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0 … (III)
Dari persamaan (III) diatas, apabila:

  -2a = A
 -2b = B
  -2c = C dan
 a² + b² + c² – R² = D

Maka dari persamaan (III) dapat ditulis sebagai berikut:
x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 ….(IV)
Persamaan (IV) ini  disebut  BENTUK UMUM persamaan Bola , dan karena:

  -2a = A, maka a = -½ A
 -2b = B, maka b = -½B
 -2c = C, maka c = -½C

Dengan demikian Pusat Bola pada persamaan (IV) diatas adalah...
M(-½A, -½B, -½C) ….(V)
Jadi, bentuk (V) diatas  adalah Rumus koordinat Titik Pusat Bola
Begitu pula karena  a² + b² + c² – R² = D, maka diperoleh :
R² =  a² + b² + c² – D
R² = (-½A)² + (-½B)² + (-½C)² – D

R² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D
 R² = √(¼A² + ¼B² + ¼C² – D) ….(VI)
Bentuk atau persamaan (VI) diatas adalah persamaan untuk JARI-JARI Bola

Untuk bola dengan persamaan  x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 (IV) diatas  terdapat tiga kemungkinan, yaitu :
1. Bila R² > 0, maka B adalah bola sejati
2. Bila R² = 0, maka B adalah bola titik (jari-jari = 0)
3. Bila R² < 0, maka B merupakan bola khayal

Contoh soal :

1. Tentukan Titik Pusat dan jari-jari bola yang persamaannya adalah
X2  +  y² +  z² + 8x – 10y  – 6z + 10 = 0
Jawab :
Dik :
X2  +  y² +  z² + 8x – 10y  – 6z + 10 = 0
Penyelesaian:
x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0
X2  +  y² +  z² + 8x – 10y  – 6z + 10 = 0

 A= 8  a = -½ A =  -½ (8) = - 4
 B=-10 b = -½B =  -½ (-10) = 5
 C =-6 c = -½C  = -½ (-6) = 3
 D = 1

karena  a² + b² + c² – R² = D , maka
R²  =  (-4)² + (5)² + (3)² –1
R²  =  16 + 25 +9 –1
R² = 49
R = √(49)
R = 7
Jadi, Titik pusat bola M( a,b,c) = M( -4, 5, 3) dan jari-jari = 7

2. Tentukan persamaan bola dengan pusat M(-2, 3, 1) dan jari-jari=2 !
Jawab :
Dik :
Pusat  = M(-2, 3, 1)
jari-jari = 2
Dit ;
Persamaan Bola ?
Penyelesaian :
 (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²
 (x – (-2))² + (y – 3)² + (z – 1)² = 4
 (x + 2)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 4
 ( X2 + 4x + 4) +  (y² – 6y + 9) +  (z² – 2z + 1)  = 4
  X2 + 4x + 4 +  y² – 6y + 9 +  z² – 2z + 1  = 4
  X2 + 4x + 4 +  y² – 6y + 9 +  z² – 2z + 1  -  4 = 0
  X2  +  y² +  z² + 4x – 6y  – 2z + 4+ 9+ 1  -  4 = 0
  X2  +  y² +  z² + 4x – 6y  – 2z + 10 = 0
Jadi, persamaan bola yang berpusat pada titik M(-2,3,1) adalah dan jari-jari 2 adalah
  X2  +  y² +  z² + 4x – 6y  – 2z + 10 = 0


3. Carilah persamaan bola dengan pusat (1,1,4) dan menyinggug bidang X+Y=12

PEMBAHASAN:
Jarak dari pusat bola terhadap bidang adalah merupakan jari-jari dari bola yang ditanyakan.
Jarak dari (1,1,4) terhadap bidang  X+Y=12 adalah:
D=
Sehingga persamaan bola adalah (X -1)2+(Y-1)2(Z-4)2=(5)2
2.Tentukan persamaan bola yang memotong tegak lurus bola X2+Y2+Z2-6X+4Y-2Z=11, membagi dua sama besar bola X+Y+Z=3 dan menyinggug garis X=7,-2Y=-Z dititik T(1,3,-1).

PEMBAHASAN:
Misalnya persamaaan bola Bl1 X2+Y2+Z2+AX+By+CZ+D=0
   Bl2X2+Y2+Z2-6X+4Y-2Z-11= 0
   Bl3 X2+Y2+Z2-3= 0
Karena Bl1 memotong Bl2 maka -6A+4B-2C= 2(D-11)…………………………………….(1)
Karena Bl1 membagi dua sama besar Bl3 maka 2(D+3)=0………………………………(2)
Bilangan arah garis g  = = adalah 1,- ½,-1
Garis melalui titik pusat P dan memyiggung T (1,3,-1) katakan  mempunyai bilangan-bilangan arah
[
g  =>hasil kali kedua bilangan arah sama dengan nol.
Atau 2A – B – 2C+ 2= 0…………………………………………….(3)
 adalah jari-jari bola atau:
(
ATAU  A+3B-C+8=0……………………………….(4)
Terdapat empat persamaan dengan empat bilangan yang diketahui A,B,C dan D.Jika diselesaikan secara bersama akan diperoleh A=2, B=-2, C=4, D=-3
Sehingga persamaan bola yaitu:
X2+Y2+Z2+2X- 2Y+4Z-3=0

Penjelasan lainnya: CONTOH DAN PEMBAHASAN SOAL TENTANG BOLA

Bola dengan pusat titik O (titik asal) dan berjari-jari r, persamaannya diperoleh dengan cara mengambil sebarang titik P(x, y, z) pada bola. Sehingga

Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola, maka setiap titik (x, y, z) pada bola berlaku
x^2 + y^2 + z^2 = r^2. Ini berarti persamaan bola dengan pusat O dan berjari-jari r adalah:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
Selanjutnya akan dicari persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat M(a, b, c).
Ambil sebarang titik P(x, y, z) pada bola, maka vektor

Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola yamg memenuhi persamaan tersebut diatas, maka setiap titik (x, y, z) pada bola memenuhi persamaan tersebut. Hal ini berarti persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat (a, b, c) adalah:
(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = r^2.

Contoh :
* Carilah persamaan bola yang berpusat di titik (1, 3, 2) dan melalui titik (2, 5, 0).
Jawab :
Jari-jari bola adalah jarak dua titik tersebut, yaitu :

Persamaan bola yang dicari adalah persamaan bola dengan jari-jari 3 dan berpusat di titik (1, 3, 2), yaitu:

Jika dijabarkan menjadi
Rumus persamaan bola yaitu (x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = r^2 dapat  ditulis sebagai berikut:

Jika –2a = A, -2b = B, -2c = C, dan a2 + b2 + c2 – r2 = D, maka persamaan bola tersebut dapat ditulis sebagai berikut
x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0

Nampak disini bahwa persamaan bola adalah suatu persamaan kuadrat dalam x, y, dan z dengan ciri-ciri:
(a) tidak memuat suku-suku xy, xz, atau yz, dan
(b) koefisien-koefisien x2, y2, dan z2 selalu sama.
Selanjutnya akan ditentukan titik pusat dan jari-jari dari bola dengan persamaan  x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0.
Persamaan ini bisa diubah dengan melengkapi kuadrat dari x, y, dan z sebagai berikut:

Dari persamaan ini dapat dengan mudah ditentukan titik pusat dan jari-jari bola, yaitu:
Terima Kasih, Semoga Bermanfaat

referensi : http://verrraaa. blogspot. com, http://sakinahninaarz009. blogspot. com , http://ga17027.blogspot.com
penelusuran terkait:

persamaan lingkaran dan persamaan bola

geometri bola pdf

persamaan kuasa bola

menentukan persamaan bola yang menyinggung bidang

soal bidang singgung bola

kedudukan bola terhadap bidang

sekian dulu semoga bermanfaat ya guys artikel nya, jika ada pertanyaan silahkan tanya aja lewat komentar di bawah postingan nya oke. mohon maaf jika ada salah kata atau kekuranganya.!!

wassalaamualaikum